Το διάγραμμα του OpenAI βασίζεται στην επιλογή c² = 65, το οποίο μπορεί να ικανοποιηθεί είτε με 1² + 8² = 65 είτε με 4² + 7² = 65. Αυτό σημαίνει ότι εάν η απόσταση πλέγματος είναι 1/√65, κάθε σημείο απέχει μία μονάδα από 16 άλλα σημεία: (1,8), (1,8), (4), (4), (7), (7), (7), Μεγαλύτερες τιμές για το c²—αν επιλεχθούν προσεκτικά— επιτρέπουν περισσότερες ακέραιες διαγώνιους και επομένως περισσότερα ζεύγη μονάδων απόστασης.
Ωστόσο, εάν το c² είναι πολύ μεγάλο σε σύγκριση με τον αριθμό των σημείων στο πλέγμα, τότε υπάρχουν πιθανώς μια μονάδα-πολλοί γείτονες εκτός του πλέγματος.
Εν ολίγοις, θέλουμε να επιλέξουμε ένα c² που είναι αρκετά μεγάλο αλλά όχι πολύ μεγάλο. Χρησιμοποιώντας γνώσεις από τη θεωρία αριθμών, συμπ Το θεώρημα δύο κατηγοριών του JacobiΟ Erdős μπόρεσε να δείξει ότι ένας βέλτιστα διαμορφωμένος κύκλος θα επέτρεπε στον αριθμό των ζευγών μονάδας-απόστασης να αυξηθεί ταχύτερα από τον αριθμό των σημείων, αλλά απλώς.
Η ερώτηση γίνεται “Μπορείς να τα καταφέρεις καλύτερα;” Για να βρει ένα ανώτερο όριο, ο Erdős χρησιμοποίησε ένα όρισμα από μια εντελώς διαφορετική περιοχή των μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία γραφημάτων για να δείξει ότι μπορείτε να έχετε μόνο τόσες αποστάσεις μονάδων. Αλλά το άνω όριο του μεγαλώνει πολύ, πολύ πιο γρήγορα από το καλύτερο κάτω όριο που θα μπορούσε να κάνει.
Η υπόθεση του Erdős ήταν ότι το αληθινό βέλτιστο ήταν πολύ πιο κοντά στο κάτω όριο από το ανώτερο. Προέβλεψε, αλλά δεν μπορούσε να αποδείξει, ότι ο μέγιστος αριθμός των ζευγών μιας απόστασης σπάνια αυξάνεται γρηγορότερα από τον αριθμό των πόντων.
Για να είμαστε πιο ακριβείς, ο Erdős υπέθεσε ότι ο αριθμός των αποστάσεων μονάδας θα ήταν n^(1+o(1)). Με άλλα λόγια, για αρκετά μεγάλα n, ο μέγιστος αριθμός αποστάσεων μονάδας για οποιοδήποτε 𝜖 > 0 θα είναι μικρότερος από n^(1+𝜖). το οποίο μπορεί να αναπτυχθεί ελαφρώς πιο γρήγορα από την κατασκευή του κάτω ορίου—που ήταν n^(1 + C/(log log n)) για κάποια σταθερή C—αλλά εντός της ίδιας γενικής στάθμης.
